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Als `!Anfangswertproblem`! (abgekürzt `!AWP`!), manchmal auch `!Anfangswertaufgabe`! (abgekürzt AWA) oder `!Cauchy-Problem`! genannt, bezeichnet man in der `F33f`_`[Analysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Analysis]`_`f eine wichtige Klasse von Differentialgleichungsproblemen. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines vorgegebenen `F33f`_`[Anfangswertes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Anfangsbedingung]`_`f.
In diesem Artikel wird das Anfangswertproblem zunächst für `F33f`_`[gewöhnliche Differentialgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gewöhnliche_Differentialgleichung]`_`f und später auch für `F33f`_`[partielle Differentialgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Differentialgleichung]`_`f erklärt.
>>Contents
• `F0af`_`[Gewöhnliche Differentialgleichungen`#gew-hnliche-differentialgleichungen]`_`f
• `F0af`_`[Anfangswertproblem 1. Ordnung`#anfangswertproblem-1-ordnung]`_`f
• `F0af`_`[Anfangswertproblem k -ter Ordnung`#anfangswertproblem-k-ter-ordnung]`_`f
• `F0af`_`[Lösbarkeit`#l-sbarkeit]`_`f
• `F0af`_`[Beispiel`#beispiel]`_`f
• `F0af`_`[Numerische Lösungsmethoden`#numerische-l-sungsmethoden]`_`f
• `F0af`_`[Partielle Differentialgleichungen`#partielle-differentialgleichungen]`_`f
• `F0af`_`[Bestimmung der Integrationskonstante`#bestimmung-der-integrationskonstante]`_`f
• `F0af`_`[Abstraktes Cauchy-Problem`#abstraktes-cauchy-problem]`_`f
• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f
• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f
• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f
-─
>>Gewöhnliche Differentialgleichungen
>>>Anfangswertproblem 1. Ordnung
Ein Anfangswertproblem erster Ordnung ist ein `F33f`_`[Gleichungssystem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gleichung]`_`f, das aus einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) {\\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}
und einer zusätzlichen Anfangsbedingung
y ( t 0 ) = y 0 {\\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}
besteht, mit
• dem `*Anfangswert`* y 0 {\\displaystyle y_{0}} und
• einem Zeitpunkt t 0 ∈ ∈ R {\\displaystyle t_{0}\\in \\mathbb {R} } .
Eine konkrete `F33f`_`[Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktion_(Mathematik)]`_`f y {\\displaystyle y} ist eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn sie beide Gleichungen erfüllt.
Gesucht ist also eine Funktion y {\\displaystyle y} , die die Bedingungen der Differentialgleichung und des Anfangswertes erfüllt. Ist die Funktion f {\\displaystyle f} stetig, so ist dies nach dem `F33f`_`[Hauptsatz der Integralrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fundamentalsatz_der_Analysis]`_`f genau dann der Fall, wenn
y ( t ) = y 0 + ∫ ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s {\\displaystyle y(t)=y_{0}+\\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\\,ds}
für alle t {\\displaystyle t} im Definitionsintervall gilt.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]
>>>Anfangswertproblem k -ter Ordnung
Gegeben seien k ∈ ∈ N {\\displaystyle k\\in \\mathbb {N} } und eine Funktion f : : D → → R n {\\displaystyle f\\colon D\\rightarrow \\mathbb {R} ^{n}} . Ihr `F33f`_`[Definitionsbereich`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Definitionsbereich]`_`f D {\\displaystyle D} sei hierbei eine `F33f`_`[Teilmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilmenge]`_`f von I × × R n × × k {\\displaystyle I\\times \\mathbb {R} ^{n\\times k}} , worin I ⊂ ⊂ R {\\displaystyle I\\subset \\mathbb {R} } ein `F33f`_`[Intervall`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Intervall_(Mathematik)]`_`f bezeichnet, welches t 0 {\\displaystyle t_{0}} umfasst. Dann heißt
{ y ( k ) = f ( t , y ( t ) , y ′ ( t ) , … … , y ( k − − 1 ) ( t ) ) y ( i ) ( t 0 ) = y i m i t i = 0 , … … , k − − 1 {\\displaystyle {\\begin{cases}y^{(k)}&=f(t,y(t),y'(t),\\dotsc ,y^{(k-1)}(t))\\\\y^{(i)}(t_{0})&=y_{i}\\qquad \\mathrm {mit} \\;i=0,\\dotsc ,k-1\\end{cases}}}
ein Anfangswertproblem k {\\displaystyle k} -ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem k {\\displaystyle k} -ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.
Ein spezielles Anfangswertproblem ist das `F33f`_`[Riemann-Problem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemann-Problem]`_`f, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine `F33f`_`[Unstetigkeitsstelle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unstetigkeitsstelle]`_`f.
Anfangswertprobleme treten z. B. in den `F33f`_`[Naturwissenschaften`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Naturwissenschaft]`_`f auf, wenn ein `F33f`_`[mathematisches Modell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematisches_Modell]`_`f für natürliche Prozesse gesucht wird.
>>>Lösbarkeit
Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) `F33f`_`[Existenzsatz von Peano`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Existenzsatz_von_Peano]`_`f und der `F33f`_`[Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Picard-Lindelöf]`_`f. Ein Hilfsmittel ist die `F33f`_`[grönwallsche Ungleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Grönwallsche_Ungleichung]`_`f.
>>>Beispiel
Das Anfangswertproblem
y ′ ( t ) = 2 ⋅ ⋅ sgn ( y ( t ) ) ⋅ ⋅ | y ( t ) | , y ( 0 ) = 0 , {\\displaystyle y'(t)=2\\cdot \\operatorname {sgn}(y(t))\\cdot {\\sqrt {|y(t)|}}\\ ,\\ y(0)=0\\ ,}
welches zu
f ( t , x ) := 2 ⋅ ⋅ sgn ( x ) ⋅ ⋅ | x | {\\displaystyle f(t,x):=2\\cdot \\operatorname {sgn}(x)\\cdot {\\sqrt {|x|}}}
korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung
y ( t ) ≡ ≡ 0 {\\displaystyle y(t)\\equiv 0}
auch noch für jedes c ≥ ≥ 0 {\\displaystyle c\\geq 0} die Lösungen
y ( t ) = { 0 , falls t < c , ( t − − c ) 2 , falls t ≥ ≥ c , {\\displaystyle y(t)=\\left\\{{\\begin{array}{ll}0\\ ,&{\\text{falls}}\\ t<c\\ ,\\\\(t-c)^{2}\\ ,&{\\text{falls}}\\ t\\geq c\\ ,\\\\\\end{array}}\\right.}
sowie
y ( t ) = { 0 , falls t < c , − − ( t − − c ) 2 , falls t ≥ ≥ c . {\\displaystyle y(t)=\\left\\{{\\begin{array}{ll}0\\ ,&{\\text{falls}}\\ t<c\\ ,\\\\-(t-c)^{2}\\ ,&{\\text{falls}}\\ t\\geq c\\ .\\\\\\end{array}}\\right.}
Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an f {\\displaystyle f} ) nachzuweisen. Dies kann beispielsweise über den `F33f`_`[Satz von Picard-Lindelöf`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Picard-Lindelöf]`_`f geschehen, dessen Voraussetzungen in diesem Beispiel jedoch nicht erfüllt werden.
>>>Numerische Lösungsmethoden
Zur `F33f`_`[numerischen Lösung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Numerische_Mathematik]`_`f von Anfangswertproblemen werden `F33f`_`[Einschritt-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einschrittverfahren]`_`f oder `F33f`_`[Mehrschrittverfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mehrschrittverfahren]`_`f eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer `F33f`_`[Diskretisierung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Diskretisierung]`_`f approximiert.
→ → {\\displaystyle \\to } Siehe Berechnungsbeispiel Anfangswertproblem in `F33f`_`[Differenzengleichung (Differenzenverfahren)`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differenzengleichung_(Differenzenverfahren)]`_`f
>>Partielle Differentialgleichungen
Verallgemeinert man das Cauchy-Problem auf mehrere Veränderliche, etwa n {\\displaystyle n} Veränderliche x 1 , … … , x n {\\displaystyle x_{1},\\dotsc ,x_{n}} , so erhält man `F33f`_`[partielle Differentialgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Differentialgleichung]`_`f. Im Folgenden stehe α α ∈ ∈ N 0 n {\\displaystyle \\alpha \\in \\mathbb {N} _{0}^{n}} für einen `F33f`_`[Multiindex`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multiindex]`_`f der Länge n {\\displaystyle n} . Beachte, dass es genau ( n + k − − 1 k ) {\\displaystyle {\\tbinom {n+k-1}{k}}} Multiindizes mit | α α | := α α 1 + ⋯ ⋯ + α α n ≤ ≤ k {\\displaystyle |\\alpha |:=\\alpha _{1}+\\dotsb +\\alpha _{n}\\leq k} gibt. Es sei weiter eine Funktion F {\\displaystyle F} in n + ( n + k − − 1 k ) {\\displaystyle n+{\\tbinom {n+k-1}{k}}} Variablen gegeben. Beim allgemeinen Cauchy-Problem sucht man nach Funktionen u {\\displaystyle u} , die von n {\\displaystyle n} Variablen x 1 , … … , x n {\\displaystyle x_{1},\\dotsc ,x_{n}} abhängen und die Gleichung
(1) F ( x , ( ∂ ∂ α α u ( x ) ) | α α | ≤ ≤ k ) ) = 0 {\\displaystyle F(x,(\\partial ^{\\alpha }u(x))_{|\\alpha |\\leq k)})\\,=\\,0}
erfüllen. Beachte, dass die `F33f`_`[Stelligkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stelligkeit]`_`f von F {\\displaystyle F} gerade so gewählt wurde, dass man x = ( x 1 , … … , x n ) {\\displaystyle x=(x_{1},\\dotsc ,x_{n})} und alle partiellen Ableitungen ∂ ∂ α α u ( x ) {\\displaystyle \\partial ^{\\alpha }u(x)} einsetzen kann. Darüber hinaus fordert man, dass die gesuchten Funktionen den im Folgenden beschriebenen sogenannten Anfangs- bzw. Randbedingungen genügen. Zu deren Formulierung sei S {\\displaystyle S} eine `F33f`_`[Hyperfläche`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hyperfläche]`_`f der Klasse `F33f`_`[Ck`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionenraum]`_`f mit `F33f`_`[Normalenfeld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normalenvektor]`_`f ν ν {\\displaystyle \\nu } . Mit ∂ ∂ ν ν j {\\displaystyle \\partial _{\\nu }^{j}} seien die `F33f`_`[Normalenableitungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normalenableitung]`_`f bezeichnet. Sind dann φ φ 0 , … … , φ φ k − − 1 {\\displaystyle \\varphi _{0},\\dotsc ,\\varphi _{k-1}} vorgegebene auf S {\\displaystyle S} definierte Funktionen, so fordert man beim allgemeinen Cauchy-Problem, dass die Funktionen u {\\displaystyle u} zusätzlich die Bedingungen
(2) u = φ φ 0 , ∂ ∂ ν ν u = φ φ 1 , … … , ∂ ∂ ν ν k − − 1 u = φ φ k − − 1 {\\displaystyle u=\\varphi _{0},\\,\\partial _{\\nu }u=\\varphi _{1},\\,\\dotsc ,\\,\\partial _{\\nu }^{k-1}u=\\varphi _{k-1}} auf S {\\displaystyle S}
erfüllen. Die Funktionen φ φ j {\\displaystyle \\varphi _{j}} heißen die Cauchy-Daten des Problems, jede Funktion u {\\displaystyle u} , die beide Bedingungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.
Durch eine geeignete `F33f`_`[Koordinatentransformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Koordinatentransformation]`_`f kann man sich auf den Fall S = { x = ( x 1 , … … , x n ) ; x n = 0 } {\\displaystyle S=\\{x=(x_{1},\\dotsc ,x_{n});\\,x_{n}=0\\}} zurückziehen. Dann spielt die letzte Variable eine Sonderrolle, denn die Anfangsbedingungen sind dort gegeben, wo diese Variable 0 ist. Da diese Variable in vielen Anwendungen als Zeit interpretiert wird, benennt man sie gern in t {\\displaystyle t} (lateinisch tempus = Zeit) um, die Anfangsbedingungen beschreiben dann die Verhältnisse zum Zeitpunkt t = 0 {\\displaystyle t=0} . Die Variablen sind also x 1 , … … , x n − − 1 , t {\\displaystyle x_{1},\\dotsc ,x_{n-1},t} . Da die betrachtete `F33f`_`[Hyperebene`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hyperebene]`_`f durch die Bedingung t = 0 {\\displaystyle t=0} gegeben ist, wird die Normalenableitung einfach zur Ableitung nach t {\\displaystyle t} . Schreibt man abkürzend x = ( x 1 , … … , x n − − 1 ) {\\displaystyle x=(x_{1},\\dotsc ,x_{n-1})} und α α = ( α α 1 , … … , α α n − − 1 ) {\\displaystyle \\alpha =(\\alpha _{1},\\dotsc ,\\alpha _{n-1})} , so lautet das Cauchy-Problem nun
(1') F ( x , t , ( ∂ ∂ x α α ∂ ∂ t j u ( x , t ) ) | α α | + j ≤ ≤ k ) ) = 0 {\\displaystyle F(x,t,(\\partial _{x}^{\\alpha }\\partial _{t}^{j}u(x,t))_{|\\alpha |+j\\leq k)})\\,=\\,0}
(2') u ( x , 0 ) = φ φ 0 ( x ) , ∂ ∂ t u ( x , 0 ) = φ φ 1 ( x ) , … … , ∂ ∂ t k − − 1 u ( x , 0 ) = φ φ k − − 1 ( x ) {\\displaystyle u(x,0)=\\varphi _{0}(x),\\,\\partial _{t}u(x,0)=\\varphi _{1}(x),\\,\\dotsc ,\\,\\partial _{t}^{k-1}u(x,0)=\\varphi _{k-1}(x)} .
Ein typisches Beispiel ist etwa die dreidimensionale `F33f`_`[Wellengleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wellengleichung]`_`f
∂ ∂ t 2 u − − c 2 ⋅ ⋅ Δ Δ u = f {\\displaystyle \\partial _{t}^{2}u-c^{2}\\cdot \\Delta u=f}
u ( x , 0 ) = φ φ 0 ( x ) , ∂ ∂ t u ( x , 0 ) = φ φ 1 ( x ) {\\displaystyle u(x,0)=\\varphi _{0}(x),\\,\\partial _{t}u(x,0)=\\varphi _{1}(x)} ,
wobei c {\\displaystyle c} eine Konstante, f {\\displaystyle f} eine vorgegebene Funktion und Δ Δ = ∂ ∂ x 1 2 + ∂ ∂ x 2 2 + ∂ ∂ x 3 2 {\\displaystyle \\Delta =\\partial _{x_{1}}^{2}+\\partial _{x_{2}}^{2}+\\partial _{x_{3}}^{2}} der `F33f`_`[Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Operator]`_`f seien.
Ist u {\\displaystyle u} eine Lösung, was gleichzeitig ausreichende Differenzierbarkeit implizieren soll, so sind alle Ableitungen ∂ ∂ x α α ∂ ∂ t j u ( x , 0 ) {\\displaystyle \\partial _{x}^{\\alpha }\\partial _{t}^{j}u(x,0)} mit | α α | + j ≤ ≤ k , j < k {\\displaystyle |\\alpha |+j\\leq k,j<k} bereits durch die Cauchy-Daten vorgegeben, denn es ist ∂ ∂ x α α ∂ ∂ t j u ( x , 0 ) = ∂ ∂ x α α φ φ j {\\displaystyle \\partial _{x}^{\\alpha }\\partial _{t}^{j}u(x,0)=\\partial _{x}^{\\alpha }\\varphi _{j}} . Lediglich die Ableitung ∂ ∂ t k u {\\displaystyle \\partial _{t}^{k}u} ist nicht durch (2') festgelegt, hier kann also nur (1') eine Bedingung stellen. Damit (1') tatsächlich eine nicht-triviale Bedingung und damit das Cauchy-Problem nicht von vornherein `F33f`_`[schlecht gestellt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Korrekt_gestelltes_Problem]`_`f ist, wird man fordern, dass man die Gleichung (1') nach ∂ ∂ t k u {\\displaystyle \\partial _{t}^{k}u} auflösen kann. Das Cauchy-Problem hat dann die Form
(1") ∂ ∂ t k u ( x , t ) = G ( x , t , ( ∂ ∂ x α α ∂ ∂ t j u ( x , t ) ) | α α | + j ≤ ≤ k , j < k ) {\\displaystyle \\partial _{t}^{k}u(x,t)=G(x,t,(\\partial _{x}^{\\alpha }\\partial _{t}^{j}u(x,t))_{|\\alpha |+j\\leq k,j<k})}
(2") u ( x , 0 ) = φ φ 0 ( x ) , ∂ ∂ t u ( x , 0 ) = φ φ 1 ( x ) , … … , ∂ ∂ t k − − 1 u ( x , 0 ) = φ φ k − − 1 ( x ) {\\displaystyle u(x,0)=\\varphi _{0}(x),\\,\\partial _{t}u(x,0)=\\varphi _{1}(x),\\,\\dotsc ,\\,\\partial _{t}^{k-1}u(x,0)=\\varphi _{k-1}(x)} ,
wobei G {\\displaystyle G} eine geeignete Funktion der Stelligkeit n − − 1 + ( n + k − − 1 k ) {\\displaystyle n-1+{\\tbinom {n+k-1}{k}}} sei. In der zuletzt gegebenen Formulierung haben alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung ≤ ≤ k {\\displaystyle \\leq k} , und die k {\\displaystyle k} -te Ableitung nach t {\\displaystyle t} tritt tatsächlich auf, denn dies ist gerade die linke Seite von (1") und sie kommt nicht auf der rechten Seite von (1") vor. Man nennt k {\\displaystyle k} daher auch die Ordnung des Cauchy-Problems. Das obige Beispiel der dreidimensionalen Wellengleichung ist offenbar leicht in diese Form zu bringen,
∂ ∂ t 2 u = f + c 2 ⋅ ⋅ Δ Δ u {\\displaystyle \\partial _{t}^{2}u=f+c^{2}\\cdot \\Delta u}
f u ( x , 0 ) = φ φ 0 ( x ) , ∂ ∂ t u ( x , 0 ) = φ φ 1 ( x ) {\\displaystyle fu(x,0)=\\varphi _{0}(x),\\,\\partial _{t}u(x,0)=\\varphi _{1}(x)}
es liegt daher ein Cauchy-Problem der Ordnung 2 vor.
Sind alle Cauchy-Daten analytisch, so sichert der `F33f`_`[Satz von Cauchy-Kowalewskaja`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Cauchy-Kowalewskaja]`_`f eindeutige Lösungen des Cauchy-Problems.
>>Bestimmung der Integrationskonstante
In der Schulmathematik wird die Bestimmung der Integrationskonstante eines `F33f`_`[unbestimmten Integrals`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unbestimmtes_Integral]`_`f für einen gegebenen Punkt als Anfangswertproblem bezeichnet.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]
`!Beispiel`!
Gesucht ist die Stammfunktion F C {\\displaystyle F_{C}} der `F33f`_`[gebrochenrationalen Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gebrochenrationale_Funktion]`_`f f {\\displaystyle f} gegeben durch
f ( x ) = 1 x 2 − − 2 x + 1 {\\displaystyle f(x)={\\frac {1}{x^{2}-2x+1}}} ,
die durch den Punkt P ( 4 | 5 ) {\\displaystyle P(4|5)} geht.
Zunächst faktorisieren wir den Nenner:
f ( x ) = 1 ( x − − 1 ) 2 = ( x − − 1 ) − − 2 {\\displaystyle f(x)={\\frac {1}{(x-1)^{2}}}=(x-1)^{-2}} .
Nun können wir `F33f`_`[substituieren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integration_durch_Substitution]`_`f:
∫ ∫ u − − 2 ⋅ ⋅ 1 d u = − − u − − 1 = − − 1 x − − 1 + C {\\displaystyle \\int u^{-2}\\cdot 1\\,\\mathrm {d} u=-u^{-1}=-{\\frac {1}{x-1}}+C} .
Als nächstes müssen wir die x-Koordinate des Punktes einsetzen und den Term mit dem y-Wert gleichsetzen
− − 1 4 − − 1 + C = 5 ⇔ ⇔ C = 16 3 {\\displaystyle -{\\frac {1}{4-1}}+C=5\\quad \\Leftrightarrow \\quad C={\\frac {16}{3}}} .
Die gesuchte Stammfunktion lautet demnach:
F C ( x ) = − − 1 x − − 1 + 16 3 {\\displaystyle F_{C}(x)=-{\\frac {1}{x-1}}+{\\frac {16}{3}}} .
>>Abstraktes Cauchy-Problem
Seien X {\\displaystyle X} ein `F33f`_`[Banachraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Banachraum]`_`f und A : : D ( A ) ⊂ ⊂ X → → X {\\displaystyle A\\colon D(A)\\subset X\\rightarrow X} ein `F33f`_`[linearer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linearer_Operator]`_`f oder nichtlinearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem T > 0 {\\displaystyle T>0} , u 0 ∈ ∈ X {\\displaystyle u_{0}\\in X} und f : : ( 0 , T ) → → X {\\displaystyle f\\colon (0,T)\\rightarrow X} eine differenzierbare Funktion u : : [ 0 , T ) → → X {\\displaystyle u\\colon [0,T)\\rightarrow X} mit u ( t ) ∈ ∈ D ( A ) {\\displaystyle u(t)\\in D(A)} für alle T > t > 0 {\\displaystyle T>t>0} existiert, die das Anfangswertproblem
u ′ ( t ) + A ( u ( t ) ) = f ( t ) , T > t > 0 u ( 0 ) = u 0 {\\displaystyle {\\begin{matrix}u'(t)+A(u(t))&=&f(t),&\\quad T>t>0\\\\u(0)&=&u_{0}&\\end{matrix}}}
erfüllt, bezeichnet man als `*abstraktes Cauchy-Problem`*. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der `F33f`_`[stark stetigen Halbgruppen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stark_stetige_Halbgruppe]`_`f bzw. der `F33f`_`[analytischen Halbgruppen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Analytische_Halbgruppe]`_`f. Zu den verschiedenen Anfangsbedingungen und Operatoren gibt es verschiedene Arten des Lösungsbegriffes, im linearen `F33f`_`[distributionelle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Distribution_(Mathematik)]`_`f Lösungen, im nichtlinearen die integrale Lösung. Mit klassisch differenzierbaren, beziehungsweise fast überall differenzierbaren Lösungen beschäftigt sich die nachgelagerte Regularitätstheorie.
>>Literatur
• Wolfgang Walter: `*Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung.`* 7. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2.
• Isao Miyadera, Choong Yun Cho: `*Nonlinear Semigroups.`* American Mathemat. Soc., Providence, RI 1992, ISBN 0-8218-4565-9.
• Amnon Pazy: `*Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.`* Springer-Verlag, New York 1983, ISBN 0-387-90845-5.
• Gerald B. Folland: `*Introduction to Partial Differential Equations.`* Princeton University Press, 1976, ISBN 0-691-08177-8. (insbesondere Kapitel 1.C. für das allgemeine Cauchy-Problem).
• `F33f`_`[Martin Hermann`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Martin_Hermann_(Mathematiker)]`_`f: `*Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1: Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme`*. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston, 2017, ISBN 978-3-11-050036-3.
• `F33f`_`[Martin Hermann`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Martin_Hermann_(Mathematiker)]`_`f und Masoud Saravi: `*A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods.`* Springer India, New Delhi et al., 2014. ISBN 978-81-322-1834-0.
>>Weblinks
• Gert Lube: `*Anfangswertaufgaben.`* (Skript, `F33f`_`[Universität Göttingen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Georg-August-Universität_Göttingen]`_`f)
• Clemens Brand: `*Illustrationen zu einem einfachen Anfangswertproblem.`* (Skript, `F33f`_`[Uni Leoben`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Montanuniversität_Leoben]`_`f)
• `*taramath Online-Tool`* zur Lösung von Anfangswertproblemen.
>>Einzelnachweise
`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Rannacher, Rolf: Numerik 1. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Heidelberg 2017, S. 13.
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Anton Bigalke, Norbert Köhler: Mathematik. Gymnasiale Oberstufe Berlin Grundkurs ma-2. Cornelsen Verlag/Volk und Wissen Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-06-040002-7, S. 27.
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